Sistema de 3 Ecuaciones (3 variables, 3 ecuaciones)
Hay dos formas de resolverlo, por el método de Gauss, y otras formas usando : el metodo de reducción-sustitucion, igualación y reducción (con reducción, esos metodos son utilizados generalmente para resolver sistemas de dos ecuaciones y dos variables, pero también aplican para sistemas de ecuaciones con tres variables, se explican mas adelante los procedimientos)
Sistema de Gauss
consiste en convertir el siguiente sistema de ecuaciones:
x+y+z =2
2x+3y+5z=11
x-5y+6z =29
Al siguiente modelo para poder calcular el valor de “x”,”y” y “z”:
x+y+z =2
0+3y+5z=11
0-0+6z =29
Tenemos el siguiente sistema de 3 ecuaciones:
x+y+z =2
2x+3y+5z=11
x-5y+6z =29
En este caso he decidido eliminar las “x”, para hacerlo tengo que convertir la “x” de la primera ecuación en -2x para al sumarla con la segunda ecuación me de “cero” entonces multiplicare (-2) por la primera ecuación:
(-2) x+y+z =2 =-2x-2y-2z=-4
la ecuación resultante se la sumaremos a la segunda ecuación, lo cual nos dará como resultado nuestra segunda ecuación:
-2x-2y-2z=-4
2x+3y+5z=11
0 +y + 3z = 7 segunda ecuación
Ahora le restaremos la “x” a la tercera ecuación, para ello tendremos que convertir la “x” de la primera ecuación a “-x” para poder sumarla a la tercera ecuación y así poder determinar nuestra tercera ecuación:
(-1) x+y+z =2 = -x-y-z =-2
sumamos el resultado con la tercera ecuación:
-x-y-z=-2
x-5y+6z=29
0-6y+5z=27 tercera ecuación
Teniendo la segunda y tercera ecuación obtendremos “z”, para poder obtenerla tendremos que eliminar a “y”, para estos necesito convertir a la “y” de la segunda ecuación en “6y”, por lo que multiplicare la segunda ecuación por “(6)” y le sumare la tercera ecuación:
(6)y+3z =7 = 6y+18z=42
6y+18z=42
-6y+5z=27
0+23z=69
Despejamos “z”
z=69/23
z=3
el valor de z=3 lo sustituimos en la segunda ecuación para determinar el valor de “y”:
y+3z=7
y+3(3)=7
y+9=7
y= 7-9
y= -2
Sustituimos el valor de z=3 y y=-2 en la primera ecuación para determinar el valor de “x”:
x+y+z=2
x+(-2)+(3)=2
x-2+3 =2
x+1=2
x=2-1
x=1
por lo tanto tenemos que x=1 , y=-2 y z=3
para saber que los valores obtenidos son correctos se sustituyen en las tres ecuaciones iniciales:
x+y+z = 2
1-2+3 = 2
-1+3 =2
2=2
2x+3y+5z=11
2(1)+3(-2)+5(3)=11
2-6+15=11
17-6 =11
11=11
x-5y+6z=29
1-5(-2)+6(3)=29
1+10+18=29
29=29
Otra Forma de resolverlo son las siguientes:
Método de sustitución (y usando reducción prácticamente…)
tenemos el sistema de 3 ecuaciones:
x+y+z=2
2x+3y+5z=11
x-5y+6z=29
Eliminamos la variable “x” , multiplicando (-2) por la primera ecuación y se la sumaremos a la segunda ecuación la cual nos dará una segunda ecuación:
(-2)x+y+z=2 = -2x-2y-2z=-4
-2x-2y-2z=-4
2x+3y+5z=11
0+y+3z=7 segunda ecuación
hacemos lo mismo con la tercera ecuación eliminaremos la variable “x”, por lo que multiplicaremos(-1)
por la primera ecuación y la sumaremos a la tercera ecuación, por lo tanto nos dará una nueva tercera ecuación:
(-1)x+y+z=2 =-x-y-z=-2
-x-y-z=-2
x-5y+6z=29
0-6y+5z=27 tercera ecuación
las ecuaciones resultante son las siguientes:
y+3z=7 segunda ecuación
-6y+5z=27 tercera ecuación
tomaremos la ecuación que tenga la incógnita de menor valor y la despejamos, en este caso es la segunda ecuación:
y+3z=7
y=7-3z
y la sustituimos el valor de “y”en la tercera ecuación, para poder obtener el valor de “z” :
-6(7-3z)+5z=27
-42+18z+5z=27
23z=27+42
z=69/23
z=3
Para obtener el valor de “y” sustituimos el valor de z=3 en la tercera ecuación, despejamos y obtenemos “y”:
-6y+5(3)=27
-6y=27-15
y=12/6
y=-2
se sustituyen los valores de y=-2 y z=3 en la primera ecuación y se despeja “x” para obtener el valor de “x”:
x+(-2)+3=2
x-2+3=2
x+1=2
x=2-1
x=1
para comprobar que ta correcta la solución, sustituir los valores de “x”, “y” y “z” en el sistema inicial de 3 ecuaciones definido inicialmente:
x+y+z = 2
1-2+3 = 2
-1+3 =2
2=2
2x+3y+5z=11
2(1)+3(-2)+5(3)=11
2-6+15=11
17-6 =11
11=11
x-5y+6z=29
1-5(-2)+6(3)=29
1+10+18=29
29=29
Método de Igualación (y usando reducción prácticamente…)
tenemos el sistema de 3 ecuaciones:
x+y+z=2
2x+3y+5z=11
x-5y+6z=29
eliminamos la variable “x” , multiplicando (-2) por la primera ecuación y se la sumaremos a la segunda ecuación la cual nos dará una segunda ecuación:
(-2)x+y+z=2 = -2x-2y-2z=-4
-2x-2y-2z=-4
2x+3y+5z=11
0+y+3z=7 segunda ecuación
hacemos lo mismo con la tercera ecuación eliminaremos la variable “x”, por lo que multiplicaremos(-1)
por la primera ecuación y la sumaremos a la tercera ecuación, por lo tanto nos dará una nueva tercera ecuación:
(-1)x+y+z=2 =-x-y-z=-2
-x-y-z=-2
x-5y+6z=29
0-6y+5z=27 tercera ecuación
las ecuaciones resultante son las siguientes:
y+3z=7 segunda ecuación
-6y+5z=27 tercera ecuación
despejamos “y” de la segunda ecuacion y tercera:
y=7-3z
-6y =27-5z
y=27-5z/-6
igualamos las dos ecuaciones:
7-3z /1 = 27-5z/-6
multiplicamos y despejamos “z”:
-6(7-3z)=(1)27-5z
-42+18z=27-5z
18z+5z=27+42
23z=69
z=69/23
z=3
sustituimos el valor de “z” en la tercera ecuacion para determinar el valor de “y”:
-6y+5(3)=27
-6y=27-15
y=12/6
y=-2
se sustituyen los valores de y=-2 y z=3 en la primera ecuación y se despeja “x” para obtener el valor de “x”:
x+(-2)+3=2
x-2+3=2
x+1=2
x=2-1
x=1
para comprobar que ta correcta la solución, sustituir los valores de “x”, “y” y “z” en el sistema inicial de 3 ecuaciones definido inicialmente:
x+y+z = 2
1-2+3 = 2
-1+3 =2
2=2
2x+3y+5z=11
2(1)+3(-2)+5(3)=11
2-6+15=11
17-6 =11
11=11
x-5y+6z=29
1-5(-2)+6(3)=29
1+10+18=29
29=29
Método de Reducción (y usando reducción prácticamente…)
tenemos el sistema de 3 ecuaciones:
x+y+z=2
2x+3y+5z=11
x-5y+6z=29
eliminamos la variable “x” , multiplicando (-2) por la primera ecuación y se la sumaremos a la segunda ecuación la cual nos dará una segunda ecuación:
(-2)x+y+z=2 = -2x-2y-2z=-4
-2x-2y-2z=-4
2x+3y+5z=11
0+y+3z=7 segunda ecuación
hacemos lo mismo con la tercera ecuación eliminaremos la variable “x”, por lo que multiplicaremos(-1)
por la primera ecuación y la sumaremos a la tercera ecuación, por lo tanto nos dará una nueva tercera ecuación:
(-1)x+y+z=2 =-x-y-z=-2
-x-y-z=-2
x-5y+6z=29
0-6y+5z=27 tercera ecuación
las ecuaciones resultante son las siguientes:
y+3z=7 segunda ecuación
-6y+5z=27 tercera ecuación
eliminamos “y” de la segunda y tercera ecuación, para despejar y determinar el valor de “z”, lo cual lo haremos multiplicando (6) por la segunda ecuación y sumandole la tercera ecuación:
(6)y+3z=7 = 6y+18z=42
6y+18z=42
-6y+5z=27
0+23z=69
z=69/23
z=3
sustituimos el valor de “z” en la tercera ecuación para determinar el valor de “y”:
-6y+5(3)=27
-6y=27-15
y=12/6
y=-2
se sustituyen los valores de y=-2 y z=3 en la primera ecuación y se despeja “x” para obtener el valor de “x”:
x+(-2)+3=2
x-2+3=2
x+1=2
x=2-1
x=1
para comprobar que ta correcta la solución, sustituir los valores de “x”, “y” y “z” en el sistema inicial de 3 ecuaciones definido inicialmente:
x+y+z = 2
1-2+3 = 2
-1+3 =2
2=2
2x+3y+5z=11
2(1)+3(-2)+5(3)=11
2-6+15=11
17-6 =11
11=11
x-5y+6z=29
1-5(-2)+6(3)=29
1+10+18=29
29=29
Tienes que dominar las reglas de suma,resta,multiplicación, división de números con signo, así como también despejar variables.
